數學上的根本性問題是，在此博奕中存在著平衡點。台灣小說網
www.192.tw如果完全沒有合作，就以如下方式定義兩位游戲人的可能行動的平衡點。一個事件a1，a2是游戲的平衡點，如果游戲人1的所有行動a1的收益值u1a1，a2大于或等于u1a1，a2，以及如果游戲人2的所有行動a2的收益值u2a1，a2大于或等于u2a1，a2。
假定游戲人2選取了行動aa，而游戲人1試圖使收益最大化，那麼他就可以選取行動a2；反之亦然。平衡點是穩定的，如果游戲人知道他或她的對手也處于平衡點並且沒有理由要改變其行為。顯然，這種平衡定義沒有考慮任何動力學方面。但是，實際的社會或經濟行為卻是由時間中的復雜動力學所確定的。交易循環是眾所周知的經濟動力學的例子。于是就提出了問題︰這些動力學是否受到平衡態的吸引，以及這些平衡態是否是穩定的。一般來說，博奕論並不考慮“蝴蝶效應”，即不考慮小的行為失誤有時會引起總體的危機甚至引起混沌。
馮諾意曼和摩根斯騰的博奕論並不完全拘泥于線性數理經濟學的傳統，它還發展起來經濟福利理論的思想。一個理性的社會被假定為選取了帕雷托優化pareto－optil的利益分配。如果沒有對于其他個體福利的減少就不可能增加這一個體的福利，這種利益的分配被稱為是帕雷托優化的。滿足這種弱帕雷托優化福利條件仍然是不充分的，還必須考慮到潛在的聯合。博奕論中的合作解理論，主要是追隨了福利經濟學、交際手段，以及往往慣于社交的自私政治家的思想。數學上，福利經濟學的政治和社會框架的公正、無偏見以及平等競爭等概念的確定，都被歸結為某種對稱性原理。
博奕論是一種精確的數學理論，它在經濟學中的應用往往被估價過高了。其局限性是它對社會作了典型的線性假設。然而，博奕論是一項了不起的數學發明，它主要是由馮諾意曼提出來的。值得注意的是，在本書所涉及的本世紀幾乎所有科學領域的發展中，約翰馮諾意曼都是一位中心人物。他曾致力于程序控制的計算機、自動機理論、量子力學和博奕論的發展。而且，他還對自然科學和社會科學中的跨學科數學模型深感興趣。所有這些輝煌的發展都主要是由線性原理支配著。但是，馮諾意曼還是最先認識到自復制和自組織的重要性的科學家之一。他的元胞自動機理論就是一個著名的例子。
6.3復雜經濟系統、混沌和自組織
從方法論的觀點來看，主流經濟學往往受到線性數學、經典力學、平衡態熱力學模型的啟發，有時也受到達爾文進化論的啟發。古典經濟模型中已經假設了一種理性的經濟人，理性經濟人通過成本最小化、利益最大化來追求收益最大化。這些理性的角色被假定通過在市場上交換商品而發生相互作用，市場是通過一定的價格機制來實現需求和供給之間的經濟平衡的。
要描述經濟的動力學，就需要有包含許多經濟量也許來自數千個部門和數百萬角色的演化方程。經濟學如同其他領域一樣，一切事物都依賴于其他事物，為了盡量地模擬經濟復雜性，這種方程就將是耦合的、非線性的。但是，甚至是完全確定論的模型也會產生出高度不規則的行為，這樣的行為是不可能作出長期預測的。經濟學如同氣象學一樣有同樣的缺陷。
在發現數學混沌和蝴蝶效應之前，人們相信有可能精確地作出長期的天氣預報。作為一名計算機的先驅，約翰馮諾意曼認為，擁有了充分多的關于全球氣象的數據，並有了超級計算機，就可以對于長期的、大範圍的天氣作出精確預報。小說站
www.xsz.tw在數學上他並沒有錯，因為在線性數學框架中，他如同經典的天文學家一樣地正確。但是，流體和天氣的實際長期行為驚人地不同于這些模型。
人們怎樣來處理天氣和經濟學中的復雜性呢氣象學中，愛德沃洛侖茲已經提出了一種非線性動力學模型，其中由于內在的“外在的”擾動就會產生出混沌行為對照2.4節。類似地，解釋經濟演化的復雜性就有兩種可能的方式。主流方式是假定線性的模型，其中作出某些預先的特設、難以解釋的外在沖擊。而非線性方式放棄了過于簡化的預設有外在沖擊的線性假說，並力圖通過其內在的非線性動力學來解釋實際上的經濟復雜性。在一些情況下，非線性作用非常弱，線性近似並不造成根本性錯誤。
在經濟學史上，20世紀30年代的經濟大蕭條引起了試圖從理論上解釋經濟的不規則性。但是，那些模型例如卡耐基和漢森薩繆爾森模型都是線性的，難以解釋振蕩現象的形成。因此，經濟學家們就假定，外部的沖擊引起了所觀察到的振蕩。假如那時經濟學家對于數學的發展更熟悉一些，他們就會早些了解到非線性的數學模型會導致循環限制，從而得出解答。
經濟學家們起初只知道不動點吸引子的穩定平衡。彭加勒把平衡態推廣到包括以極限環形式進行的平衡運動。但是，對于像洛侖茲模型圖2.21中的混沌吸引子，既沒有不動點，也沒有不變運動，而是一種永不重復的運動。然而，它也是一種有邊界的運動，一種非游蕩集合，將一定的動力學系統吸引到某個動態平衡的終態。
歷史上，20世紀的經濟以其增長過程中發生著引人矚目的崩潰中斷為特征。例如，20世紀30年代大蕭條和70年代石油危機。對于增長的結構，要特別關注創新和技術進步。成功創新的擴張，在經驗上已經由邏輯斯蒂函數很好地表示出來，本書中在2.4節已經引入了這一函數。遞歸的表示中可以把整數t看作時間項，增長因子a＞0。起初，人們對于創新是全然不熟悉的。然後，隨著它被人們接受，它就達到了它的最大擴張速率。再後，隨著創新方式完全地結合進經濟中，對它的吸收過程就慢慢地減速了。
所形成的曲線示意在圖2.22中。對于a3，我們獲得了某個不動點吸引子，這示意在圖2.22a中。對于更大的a，結果形成了一種振蕩圖2.22b和圖2.24b，然後是一種混飩運動圖2.22c和圖2.24c。對于a＞3，周期數隨著a的增加而成倍增加圖2.23a，最後它完全變成了混沌圖2.20b。
創新和經濟產出之間的相關如圖6.6的模型所示。最初的輸出q被看作是平衡的，隨著增長速率k的增加，輸出也在逐漸增加。隨著創新到達飽和狀態，k也減少到零，輸出q跌落到最初的水平。于是，創新刺激出某種繁榮，但也就引出了隨後的衰退。創新可以是節省勞動力的。如果每輸出單位的勞動輸入降低20，就會引起失業。
人們假定新思想的增長是指數式的，像舒伯特那樣的經濟學家主張，在一次創新沖動的尾聲就將開始一輪新的創新沖動。然後，如果大致以每年4的速度發生經濟系統連續地起作用和技術概念連續地生長，那麼就會激起新的一輪繁榮和新的衰退，如此等等。對于經濟循環理論，創新是至關重要的，因為在一次蕭條中是沒有任何的新投資基礎的，而新的投資又是引出新的擴張所必需的。
一些新的思想平穩地產生出來。台灣小說網
www.192.tw當足夠多的思想積累起來以後，就會引進一組新的創新。它們最初的發展是緩慢的，然後隨著方法的改進而得以加速。邏輯式發展標志了這種典型的創新軌跡。引入一種創新必須要有某種超前投資。投資刺激了需求。增長的需求促進了創新的傳播。于是，隨著所有的創新都已經被充分發掘，減速過程就將導致零增長。
熊彼特把這種現象稱作創新“游泳”。在他的三循環模型中，第一個短循環相應于資本循環，創新在此不起作用。下一個較長循環相應于創新。熊彼特承認歷史統計學的顯著性，並把長周期波動的證據與諸如蒸汽機、煉鋼、鐵路、輪船和電力這些最重要的創新聯系起來，注意到它們完全地結合進經濟中需要30100年。
一般地，他描述了以“集群”形式發生的技術進步引起的經濟進化，並在邏輯斯蒂框架中來解釋。一次技術集群被假定為以循環方式把一種平衡態轉移為一種新的不動點。所形成的新的平衡，其特征是更高的真實工資、更高的消費和產出。但是，舒伯特的分析忽略了一個根本性問題︰有效的需求決定著產出。
從歷史上看，20世紀30年代的大蕭條促成了提出經濟的商業循環模型。不過，最初的模型例如漢森薩繆爾森的模型和郎伯格米茲勒模型都是線性的，因而也就需要外在的沖擊來解釋其不規則性。標準的經濟方法論為這種傳統進行辯解，盡管循環分析在數學上發現了奇怪吸引子以後就已經成為可能。在非線性系統框架中，重新表述關于20世紀30年代的大蕭條的傳統線性模型並不困難。
米茲勒模型是由兩個演化方程來決定的。在第一個方程中，產出的變化率q正比于實際資本s與所希望的資本s之間的差。所希望的資本正比于產出。第二個方程中涉及資本的變化率s，其產出q小于需求。需求正比于產出。由這兩個演化方程決定的動力學復雜系統，將產生出簡單的其振幅不斷增加的諧運動。
如果以某種非線性方式將這個系統擴展，就會導致另一種不同的行為。第三個方程中考慮到淨公共剩余和赤字的反常行為。目的是要產生出有若干年周期的循環。運用所謂的茹斯勒帶，提出了一種數學模型。人們得到了一條莫比烏斯帶，它是自上而下翻轉後只給出一面的帶子圖6.7a。追隨一條軌跡，由外圈擴展到右上方。然後，它折疊起來，並隨著向下運動而收縮為一個內圈，如此等等。圖6.7a給出了一個兩維的投映，顯示了這兩個循環。軌線傾向于聚集在其間的空的空間。如果將此模擬繼續下去，這些帶子就變得越來越稠密。
圖6.7a是一個簡單而著名的混沌“奇怪”吸引子的例子。盡管其中每一軌跡都是精確地由演化方程所決定的，但它卻是難以長期計算和預測的。在蝴蝶效應的意義上，起始條件的微小偏離，將引起軌跡途徑的巨大變化。圖6.7b示意了態空間中一條為期15年的輸出軌跡，對此已在計算機實驗中選擇一些參數進行了模擬。圖6.7c示意了作為相應的時間系列的發展。
這種高度飄忽不定的行為完全是由內在系統產生出來的，沒有任何的外在沖擊。在經濟學中，時間系列的不規則性通常是用外在沖擊來解釋的。但是，它們僅僅是武斷的預先假設，因此是可以解釋任何事物的。從方法論的觀點看，其中有混沌吸引子的混沌內在模型表現得更令人滿意。然而，內在的非線性模型與帶有外在沖擊的線性模型都必須嚴肅地取自經濟學，並在經濟學中受到檢驗。
顯然，一個經濟系統包含了許多相互關聯的和相互**的部分，既有內在動力學也有外在影響力。一個國家的經濟越來越受到世界經濟運動的作用。在一個經濟系統內，也有具有特定動力學的多種市場。它們受到循環的影響，例如，每年的太陽循環就決定著農業、旅游業或燃料市場的狀況。因此，鐵業循環和建築循環也都是人們熟知的經濟例子。因此，內在非線性並受外力沖擊波的系統才是現實的經濟模型。受擾動的混沌吸引子或一種超混沌，給人留下了深刻印象。正是經濟事件具有飄忽不定的特征，給經濟人員帶來了嚴重的困難，他們不得不面對不可預見的未來而進行決策。
在2.3節中，我們已經看到，自組織的復雜系統可以是保守的或是耗散的。在圖2.14a，b中示意了它們的不同類型的吸引子。一些為人們熟悉的自然科學中的保守的或耗散的模型都已經運用于經濟領域。1967年，哥德溫提出一種保守動力學模型，以使得19世紀的階級斗爭思想精確化。他考慮了一種由工人和資本家所組成的經濟系統。工人將其全部收入都用于消費，而資本家則將其全部收入都儲蓄起來。哥德溫運用的是作了某些修訂的洛特卡和沃爾特拉的捕食者被捕食者模型，那個模型已在3.4節中作了描述。
哥德溫的保守模型支持了這樣的觀點︰資本主義的經濟將處于不斷的振蕩之中。因此，軌跡描述了封閉軌道，如圖3.11b所示。哥德溫的模型受到了批評，批評者認為它只是表面上的，因為該模型並未直接涉及資本家和工人的職務收入份額或他們群體的大小。但是，主要是由于它的保守特征，使得哥德溫的模型看來在經濟上是不現實的。該模型把互不相干的一組假設放在一起，而假設之間的相互影響沒有得到反映。
因此，加入“經濟摩擦”假設，就使這個模型更為現實了。在生物學中，耗散的洛特卡沃爾特拉模型已示意在圖3.11c中，其中有一個吸引子。一個耗散系統總是具有吸引子或排斥子，其形式包括不動點、極限環或奇怪吸引子。由于耗散系統具有不可逆的時間進化，任何種類的回溯預測都是排除在外的。
現實中，人們不可能將一個動力學系統與其他動力學系統割裂開來考慮。因此，在2.2節中，我們研究了耦合的吸引系統，例如兩個時鐘圖2.11a，b。組合系統的態空間由一個環形圓紋曲面代表圖2.11c，d。整個系統的動力學，由環形圓紋曲面上的軌跡和向量場的相圖來表示。
一個耦合振蕩系統的經濟模型，可以由國際貿易來提供。設想一個簡化了的只有總投資和儲備的單種經濟的宏觀經濟模型，其總投資和總儲備依賴于收入和利率。這個系統的動力學依賴于關于收入的演化方程，收入由市場上對物品的過度需求來調節，第二個演化方程是關于利率的方程。這些方程以模型中產生出內在振蕩的方式構成了一個非線性振蕩子。
3種經濟的相互作用，例如，可以用3個**的二維極限環來加以描述。如果這3種經濟都處于振蕩中，該系統的總運動就構成了一種三維環形圓紋曲面的運動。非線性振蕩子的耦合可以理解為對三維環形圓紋曲面上的自主經濟運動的擾動。這種耦合程序已經應用到了幾種經濟實例中，諸如國際貿易模型、商業循環模型和**市場。
當允許自組織的經濟系統受到政治干預的影響時，就出現了至關重要的實際政策問題。在某些情況下，市場是不可能按照福利標準來發展的。如果讓經濟自由放任，它就可能出現漲落波動的特征。如果不考慮經濟增長的復雜性和非線性，政策措施可以對這樣的傾向產生相反的效應。
對于經濟突變帶來的巨大社會和政治後果，已經在凱恩斯主義和新凱恩斯主義的框架中討論過若干種政策措施。例如，當代的財政政策可以被看作一種動力學控制。它應該可以減少經濟漲落的幅度。但是，戰後的經驗已經表明，希望把漲落減少到零是不可能的，也不可能保持就業率不變。而且，一項好的政策總是需要相當的時間來收集數據、分析結果並提出相應的立法和行政措施。結果是，任何政策當它起作用時可能就已經過時了。因此，在復雜的非線性的經濟世界中，一項政策措施可能會是完全無用的。
例如，當假定的經濟動力學及其政策干預的時間途徑過于簡單時，凱恩斯的收入政策就可能是無效的。在復雜系統的框架中，經濟政策措施可以被解釋為對于振蕩系統施加緊急的外部作用力。因此，它不可能排除掉經濟系統出現混沌現象。在物理學中，受迫振蕩是人們所熟悉的。例如，如果一個像鐘擺那樣的動力學系統圖2.5處于振蕩中，並且受到外力的周期性影響，那麼，由于振幅不斷增加、振蕩總體衰減以及完全的無規則性，其結果就可能是不可預見的。
從古典經濟學到現在，商業循環理論的目標一直是建立起具有規則漲落的經濟系統的動力學。按照線性力學的觀點，實際的商業循環可以用規則系統來建模，對其可以再加上隨機的外部沖擊，而這種沖擊又必須或多或少用適當的經濟學假設來說明。當然，對于一個模型，當它的基本性質是由外部力量來決定的，這些外部力量又沒有合理的經濟學解釋，這樣的模型就是很難令人滿意的。如果一個實際的系統是非線性的、混沌的，可能影響其經濟動力學的外部作用力的進一步的信息也就可能是多余的。從方法論的觀點看，按照奧卡姆的格言entianonsuntltiplidasineate〔無必要就不增加理論實體﹞，他的著名剃刀應該用來切除這些多余的關于經濟學的預先假設。
從一個實際工作人員的觀點來看，他究竟是面對一個隨機的線性過程還是一個混沌的非線性過程的問題，這是一個離題的問題。這樣的兩種系統都使得他難以作出精確的預測。由于混沌模型敏感地依賴于起始條件，任意精確的數字計算機也不可能計算出這種系統的長期的未來演化。軌跡將指數地發散。另一方面，他卻相信，面對著系統的過于復雜的行為，隨機的外部沖擊是可以放棄的。
然而，具有混沌時間序列的非線性系統卻並不排除局部的預見性。如果非線性系統的吸引子可以加以重構，那麼數字技術就允許以足夠高的精確度對系統的短期進化作出預測。短期經濟預測可以是復雜系統理論在經濟學中的一種有趣的應用，不過這也仍然處于其嬰兒期。
對于經濟學模型來說，經濟學從一開始就遇上了經驗檢驗和確證的嚴重方法論問題。這與自然科學中可以進行任意多次的測量並進行實驗室實驗形成了鮮明的對照，經濟的時間序列必須包括時間單位如天、年、季度或月份的數據。典型的標準的時間序列長度是由數百個點構成的。因此，對于經濟模型的有限的可靠性就已經具有了經驗的理由。當然，經驗式的實驗基本上是排除在外的。
因此，關于內部經濟動力學的適當知識，至少有助于建立數學模型，對其未來的發展可以用計算機實驗進行模擬。如果政治家和管理者的經濟和政治環境的假設得到了實現，他們就至少可以獲得可能經濟圖景的“相圖”。對于高度敏感的非線性系統的定性洞察，至少有助于防止反應過度
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