正文 第二十四章 測度論 文 / 武俠修真
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“長度是什麼？面積是什麼？體積是什麼？”
這個意料之外的問題讓𠵼流楞了一會兒。他沒有想到王崎會問這種問題。思考片刻之後，他張口道︰“長度是……”
話到嘴邊又說不出口了。
何謂長？
這個問題，恐怕每一個人都知道。就算是剛剛開靈的新生妖族或者小孩子，都能有咿咿呀呀的比劃大小、長短等諸多概念。
但是，越是簡單的概念，反而越難以敘述。因為在絕大部分人心中，“長度”這個概念已經夠基礎的了。要他們用更加基礎的概念去表述這樣一個概念……
真的很難呀。
看到他的樣子，王崎微微有些好笑，但仍是一本正經的說道︰“既然你無法回答這個問題，那就簡單點好了。就問你，長度是什麼？”
𠵼流已經說不出什麼“別小瞧妖”之類的話了。
他很認真的思考問題，最後小心翼翼的說出了結論︰“兩點之間的距離……”
“呵呵。”王崎付之一笑。
𠵼流有些被激怒。他站起來，道︰“這種不言自明的道理，又有誰會不明白？既然人人都明白，那又為何要研究它？要我說，你等人族已經走入執念障了，只盯著自己那一畝三分地，卻看不到廣闊天空。”
“不言自明？”王崎的語氣當中充滿調侃的意味。他手腳並用翻下講桌，在空中扯了個筋斗，落在𠵼流的課桌前，直直的盯著𠵼流。他笑容有些陰森︰“小子，我得告訴你，沒有什麼是不言自明的。所謂的‘不言自明’，只不過是你的腦子、你的魂魄、你的智慧給你的一種錯覺，一種幻象。”
“這種幻覺的名字，就叫‘我生而知之’，或者‘我很聰明’‘我心近道’。”
王崎又站了起來︰“或許後天獲得的靈智，讓你們有了一種‘有靈智方才出生’的感覺吧。這種感情，我們還真不能體會。對于我們人族來說，‘靈慧’真的是稀松平常。所以，我們才會覺得靈慧其實也沒有那麼偉大——至少我們人族這種層次的智慧沒有那麼偉大。我們所知曉的一切，其實都是智慧給自己設下的枷鎖。”
“只有認清執念，才能破除執念。只有知曉天空的渺小，才能夠計算星海的浩瀚。”
𠵼流皺眉︰“坐而論道嗎？說得好听罷了。”
他心中其實是有一些竊喜的。這種觀念之爭、理念之爭可以說上很久，最終有可能變成誰都沒辦法說服誰的局面。若是進入這樣的局面，他倒是有機會抹除剛才的尷尬一幕。
可惜，王崎是不會給他這種機會的。
世界終究是客觀的。真就是真，偽就是偽。
王崎身子向後一翻，像是要倒在地上。下一秒，他就在講台上站好。他道︰“方才你提到了‘四個條件’支撐起的一套幾何，想必也是知曉‘第五個條件’吧？”
𠵼流點點頭︰“不絕對。”
“能夠將畫天法稱之為‘條件’，你們更新妖族也是有一些智慧的。可惜啊……”王崎搖搖頭，也不知是可惜更新妖族沒有更深入，還是在可惜某個後輩學藝不精。他道︰“既然你們知曉這被我們人族稱之為畫天法的公設，那也應該知曉點線面的定義咯？”
𠵼流點點頭。這種不言自明的問題，他們確實是知曉的。
“線是無數點的總和，對吧？”
𠵼流再次點點頭。
王崎繼續問道︰“那麼你們有沒有想過，點是沒有長度的。或者說，點的長度是零。線是由無數點構成的，那麼，線又是從哪里來的長度呢？”
“唔……”這個問題，讓所有的學生都愣了一下。
包括月落琉璃和白弦素錚這兩個龍族在內，所有人都是一愣。
——這個……還真沒有人想過！
王崎看著底下那群學生的表情，終于是滿意的點了點頭。
——小樣兒，我還治不了你們了？
——我告訴你們，我這里看起來簡單，但是難得要死的問題是要多少有多少。
王崎剛才問出的問題，其實就是“測度論”當中的重要部分。而它的解答，在地球被稱作“勒貝格積分”。在這個世界，它作為離宗的經典，由歌庭派完成。
盡管這只是算主輝煌人生的一個小小注腳，但是大多數人都知曉，若是有萬法門弟子吃透了這個，那麼升到煉虛期都不會有什麼障礙。
沒有接觸過主流數學的天才人物需要多久才能徹底想明白這個問題呢？
格羅滕迪克高中時期花了三年。
“想要解釋這個問題，就得先從集合論談起了。”王崎說著，開始講解集合里面最初的內容。集合、淄即、元素、並集、交集、補集等等。、
這些內容全部都是面向普通高中生的。大約三五節課，地球上的普通高中生就能夠掌握這方面的內容。而王崎現在的這些學生起碼都是化形期的高階妖族，記憶力更加強大，他只花了一個小時，就保證讓他們掌握了那些集合的基本概念。
當然，也真的只是基本概念而已。
“接下來，我們可以引入一些更加復雜的概念，比如說‘無窮大’。‘無窮大’這個概念也很復雜。我知道，在算學之外，這個概念也被一些人討論。或許你們當中有一些人就思考過這樣的問題——什麼叫無窮大。而現在，丟掉你們腦子當中那些玄之又玄的定義。在算學里，無窮只有已知的兩種。可數無窮和不可數無窮。所有整數的集合便被稱為‘可數無窮’。不可數無窮比可數無窮更大，不存在比可數無窮更小的無窮……”
“所有實數的集合就是一個不可數無窮。而所有與‘所有實數的集合’等勢的集合，就被稱作‘連續統’。”講話到這里，王崎笑了一下︰“順便一提，這個系統里面有相當一部分東西就是我證明的。換言之，這是我悟出來的東西。這一點必須強調一下。”
𠵼流臉色鐵青。
“我本人和‘連續統假設’的故事，有空再講給你們听。總而言之，你們知道這麼個概念就行了。若要問‘可數無窮’和‘不可數無窮’之間的區別，那就簡單說一下吧——這或許就是無大小的點到線與面之間的奧妙。”
“現在回到主題。我們通常所說的長度面積體積這些詞，究竟是什麼意思？”王崎雙手撐在講桌上︰“為了更清楚的闡明這個主題，讓我們把目光只集中在最簡單的一維情形，也就是說，我們只考慮‘長度’這個詞。我們希望，取出直線上的一部分，就有一個‘長度’存在。如果能做到這一點，那麼類似的，面積和體積之類的字眼也可以類似的得以理解。”
“首先，我們可以做出這樣的定義。一個直線，就是一個巨大的點集。”
“這個點集的每一個子集，包括它自身，都存在‘勢’。這個勢就是一個測度。”
“兩個彼此本身不相交的子集的並集——也就是這個大點集的另一個子集，也有測度並且這個測度應該等于兩者之和。簡單來說，兩個不相交不重疊的線段的總長度，就可以視作是它們各自長度的總和。”
“更進一步，三個不相交子集的測度之和也應該等于這三個子集並起來的集合的測度，四個也好，五個也好，依此類推，無窮個不相交子集的測度之和也應該等于把它們並起來得到的集合的測度。”
說到這里，王崎鄭重的說道︰“接下來，我們就可以做出最終的定義了。”
“一，空集對應的測度是零。二，若干個彼此不相交的子集，它們並在一起得到的子集的測度，剛好等于這些子集各自測度之和。三，如果把直線看作實數軸，那麼從數軸上子點到丑點的線段對應的測度應當等于丑減去子。”
接著，王崎閉上眼楮，表情肅穆。
“就是人們通常所說的‘長度’的嚴密定義，而且是唯一正確的定義。”
當然，這句話略有些夸張。王崎剛才講述的勒貝格測度【在這個世界，它被喚作‘歌庭測度’】，只是測度當中的一種。事實上，這個世界也會存在其他測度體系。數學上也承認不同于這種測度的其他測度。
比如，地球物理學當中會涉及的另一種測度，狄拉克測度【本世界也喚作“無量測度”】
這就讓很多數學家相信，實際上還有更加具有普遍性的測度，只是人類還沒有理解到那一步。
但是，就現階段來說，“長度”這個詞得到了嚴格的定義，人類對算學的認知也到了更深的層次。
有那麼一瞬間，𠵼流真的被震懾到了。他驚嘆于這種嚴密的智慧。但是他依舊問道︰“這有什麼用呢？這不過是在玩文字游戲。這種游戲，我可以玩上一天……”
“是啊，有什麼用呢。”身形一閃，王崎再一次出現在𠵼流的面前︰“這個定義，恰好能讓你意識到自身的渺小啊。”(未完待續。)